Τα Μαθηματικά έναντι των Προβλημάτων Απόφασης

Καθηγητής Κωνσταντίνος Ζοπουνίδης, Ακαδημαϊκός, Βασιλική Ακαδημία Οικονομικών και Χρηματοοικονομικών, Βασιλική Ευρωπαϊκή Ακαδημία των Διδακτόρων, Πολυτεχνείο Κρήτης & Audencia Business School, France

Les Mathematiques Face aux Problemes de Decision, Jean-Pierre Brans, Vrije Universiteit Brussel

Ι. Μαθηματικά και Απόφαση

Οι μαθηματικοί έχουν τη δική τους γλώσσα. Είναι η γλώσσα των συνόλων, των σχέσεων, των συναρτήσεων, των εξισώσεων… Οι λέξεις που τη χαρακτηρίζουν είναι αυστηρές. Είναι μια γλώσσα μεθοδική, λογική, συνεκτική, αξιωματική, είναι αφηρημένη και πολύ δομημένη. Οι αποφασίζοντες έχουν επίσης τη γλώσσα τους. Αυτή είναι πιο ποικίλη, πιο διακριτική και αγκαλιάζει όλες τις ανθρώπινες δραστηριότητες. Είναι η γλώσσα  της οικονομικής, κοινωνικής πολιτικής πραγματικότητας…

Στην ανάλυση, αυτές οι δύο γλώσσες αποδεικνύονται εντελώς διαφορετικές και αυτός είναι αναμφίβολα ο λόγος για τον οποίο μαθηματικοί και αποφασίζοντες δεν έχουν σχεδόν τίποτα κοινό μέχρι στα μέσα του 20^ου αιώνα. Ωστόσο, τα τελευταία χρόνια, ξεκίνησε ένας διάλογος. Στην αρχή, η πρόοδος ήταν συνεσταλμένη, καθένας παρέμενε έγκλειστος στο δικό του λεξιλόγιο, αλλά σήμερα οι αμοιβαίες συνεισφορές είναι σημαντικές. Από τη μια πλευρά, οι μαθηματικοί έχουν προσφέρει στους αποφασίζοντες ένα οπλοστάσιο μεθόδων και τεχνικών που μπορούν να τους διαφωτίσουν και να τους βοηθήσουν στη λήψη αποφάσεων. Από την άλλη πλευρά, τα προβλήματα που θέτουν οι αποφασίζοντες ανάγκασαν τους μαθηματικούς να εμπλουτίσουν το πεδίο τους με νέες έννοιες και εργαλεία.

Για να προωθήσουν τη συνεργασία τους και για να είναι αυτή καρποφόρα, οι μαθηματικοί και οι αποφασίζοντες έχουν αναπτύξει μια κοινή γλώσσα που μπορεί να γίνει κατανοητή και από τα δύο μέρη. Είναι η γλώσσα των μαθηματικών μοντέλων της θεωρίας της απόφασης. Στόχος της είναι να επιτρέψει σε κάποιον να κατανοήσει την πραγματικότητα, να την περιγράψει, να την καταλάβει, να τον βοηθήσει να τη διοικήσει.

Ένας ορισμένος αριθμός παραγόντων παρεμβαίνουν στη συγκρότηση αυτών των μοντέλων, είναι πιθανό να ανήκουν στις τρεις ακόλουθες κατηγορίες:

1. Ο «αποφασίζων» δηλαδή ο ή οι παράγοντες στους οποίους ανήκει το προνόμιο να πάρουν την οριστική απόφαση.
2. Ο «Αναλυτής της μελέτης» δηλαδή ο ή οι παράγοντες που είναι επιφορτισμένοι με την ανάλυση του προβλήματος, με τη λογική διατύπωση του μοντέλου και τη μαθηματική του επεξεργασία.
3. Οι «Υποστόμενοι» δηλαδή αυτοί που θα υποστούν τις συνέπειες των αποφάσεων που λαμβάνονται.

Η αντιμετώπιση ενός προβλήματος απόφασης, το οποίο θα καλέσουμε εδώ διαδικασία της απόφασης, απαιτεί τα ακόλουθα τρία βήματα.

1. Προσδιορισμός του συνόλου των πιθανών δράσεων (εναλλακτικών), δηλαδή του συνόλου των αποφάσεων που ενδέχεται να κρατηθούν από τον αποφασίζοντα.
2. Διαχωρισμός αυτών των δράσεων μοντελοποιώντας τις προτιμήσεις του αποφασίζοντα.
3. Ανάπτυξη μιας διαδικασίας επεξεργασίας ή μαθηματικού υπολογισμού για την παροχή στοιχείων απόκρισης στο πρόβλημα απόφασης.

Αυτοί οι παράγοντες και αυτά τα βήματα χαρακτηρίζουν ουσιαστικά ένα μοντέλο απόφασης. Τα τρία βήματα δεν διαδέχονται υποχρεωτικά το ένα το άλλο με τη διάταξη 1, 2, 3. Οι οπισθοδρομήσεις και οι διορθώσεις είναι δυνατές.

ΙΙ. Το θεμελιώδες Μαθηματικό Μοντέλο

α. Παρουσίαση του μοντέλου

Τα πρώτα μοντέλα που προτάθηκαν από μαθηματικούς για την επίλυση προβλημάτων απόφασης είχαν όλα την ακόλουθη μορφή.

Opt{f(x)I x                (2.1)

Όπου Α το σύνολο των πιθανών δράσεων και f(x) μια συνάρτηση που ονομάζεται κριτήριο.

Κάθε μοντέλο αυτού του τύπου θα αναφέρεται στη συνέχεια θεμελιώδες μαθηματικό μοντέλο ή απλά θεμελιώδες μοντέλο εάν το Α είναι σταθερό, δηλαδή εάν το Α δεν μπορεί να αμφισβητηθεί ή να τροποποιηθεί κατά τη διαδικασία της απόφασης, εάν οι παράμετροι που ορίζουν το Α είναι αριθμητικές ποσότητες και εάν f(x) είναι πλήρως προσδιορισμένο, με πραγματικές τιμές καθορισμένες στο Α. Το σύνολο Α μπορεί να είναι πεπερασμένο ή άπειρο, να ορίζεται με αριθμητικό τρόπο, με συνδυαστικό τρόπο ή μέσω περιορισμών. Το κριτήριο f(x) πρέπει να μεγιστοποιείται ή να ελαχιστοποιείται ανάλογα με την περίπτωση. Επιτρέπει τη διαφοροποίηση των πιθανών εναλλακτικών.

β. Βέλτιστη λύση και διερευνητική διαδικασία

Θεωρούμε το μοντέλο του τύπου 2.1. Καλούμε βέλτιστη λύση ενός τέτοιου μοντέλου, υποθέτοντας ότι το κριτήριο f(x) πρέπει να είναι μεγιστοποιημένο, κάθε λύση

τέτοια ώστε:

f() ≥ f(x), .  (2.2)

Οποιαδήποτε βέλτιστη λύση δεν είναι απαραίτητα μοναδική. Εάν ο αποφασίζων θεωρήσει ότι το μοντέλο αντικατοπτρίζει σωστά την πραγματικότητα και εάν ο ίδιος θέλει να παραμείνει συνεπής με αυτό το μοντέλο, θα κρατήσει τη βέλτιστη λύση. Ο καθορισμός της (των) βέλτιστης (ων) λύσης(σεων) αποτελεί τη διαδικασία της διερεύνησης. Αυτός ο μαθηματικός υπολογισμός ανήκει γενικά στον αναλυτή της μελέτης. Στις περισσότερες των περιπτώσεων, δεν πρόκειται για ένα απλό πρόβλημα. Για να το επιλύσουν οι μαθηματικοί έχουν αναπτύξει διαδικασίες υπολογισμού που ονομάζονται αλγόριθμοι. Ανάλογα με τη δυσκολία ή την έκταση του υπολογισμού, οι αλγόριθμοι που χρησιμοποιούνται είναι ακριβείς, προσεγγιστικοί ή ευρετικοί.

γ. Βασικές ιδιότητες του θεμελιώδους μοντέλου

1. Προβληματική επιλογής. Ένα πρόβλημα απόφασης είναι πρόβλημα επιλογής όταν συνίσταται να επιλέξει μια εναλλακτική ανάμεσα σε ένα σύνολο πιθανών εναλλακτικών. Κάθε θεμελιώδες μοντέλο αρμόζει καλά σε αυτό το είδος της προβληματικής, δεδομένου ότι επιτρέπει στον αποφασίζοντα να επιλέξει μια βέλτιστη λύση στο Α.

2. Το θεμελιώδες μοντέλο προκαλεί με φυσικό τρόπο στο σύνολο των πιθανών εναλλακτικών ένα σχεσιακό σύστημα (Ι, P) προτίμησης. Αυτό το σύστημα χαρακτηρίζεται από σχέσεις αδιαφορίας (Ι) ή ισχυρής προτίμησης (Ρ) μεταξύ οποιουδήποτε ζεύγους εναλλακτικών του Α. Αυτές οι σχέσεις κατέχουν την ιδιότητα της μεταβατικότητας. Πράγματι, ας εξετάσουμε δύο εναλλακτικές x και y που ανήκουν στο Α, εάν το κριτήριο πρέπει να μεγιστοποιηθεί, είναι φυσικό να εκτιμάται ότι το x θα προτιμάται από το y εάν f(x) > f(y), x θα είναι αδιάφορο του y εάν f(x) = f(y) και y θα προτιμάται του x, εάν f(x) < f(y). Αυτό μπορεί ακόμη να γραφτεί, χρησιμοποιώντας τις σχέσεις Ρ και Ι για να εκφράσουμε αντίστοιχα την προτίμηση και την αδιαφορία:

f(x) > f(y) óxPy

f(x) = f(y) óxIy

f(x) < f(y) óyPx

P είναι μια αυστηρή σχέση προτίμησης και δεν εξαρτάται από την απόκλιση μεταξύ f(x) και f(y). Επιπλέον, αποδεικνύεται εύκολα ότι:

xPy, yPz => xPz

xIy, yIz => xIz,

που σημαίνει ότι οι σχέσεις Ρ και Ι είναι μεταβατικές. Σε μαθηματικούς όρους, αναφέρεται ότι το σχεσιακό σύστημα προτιμήσεων (Ι, Ρ) είναι μια πλήρης κατάταξη.

δ. Μερικά θεμελιώδη μοντέλα

Για περισσότερα από 30 χρόνια, πραγματοποιήθηκαν πολλές έρευνες για τον καθορισμό μοντέλων αποφάσεων που ανήκουν στην κατηγορία του θεμελιώδους μοντέλου. Έχουν δημιουργήσει αμέτρητες εφαρμογές σε όλους τους τομείς της βιομηχανικής, οικονομικής, κοινωνικής και πολιτικής ζωής.

Αυτά τα μοντέλα ποικίλουν εξαιρετικά ανάλογα με τη φύση του Α και τη συνάρτηση κριτήριο. Μεταξύ των πιο διάσημων μοντέλων, ορισμένα έχουν οδηγήσει σε πραγματικές θεωρίες. Είναι δυνατόν να αναφέρουμε: γραμμικό προγραμματισμό, τετραγωνικό, κυρτό, δυναμικό, σε ακέραιες μεταβλητές ή (0-1), διαδικασίες διαχωρισμού και εκτίμησης, θεωρία ουρών αναμονής, διαχείρισης αποθεμάτων, παιγνίων, προβλήματα μεταφορών, εντοπισμού, διανομής, διαχείρισης χαρτοφυλακίων, ανανέωσης εξοπλισμού, αναλογιστικά προβλήματα, άλλα προβλήματα της οικονομικής επιστήμης, του τομέα των μηχανικών, της φυσικής, της χημείας, της βιολογίας, …, όλα αυτά εμπίπτουν στην κατηγορία του θεμελιώδους μοντέλου.

Αυτές οι έρευνες αφορούν όλα τα επίπεδα της διαδικασίας της απόφασης: την αναγνώριση του συνόλου των πιθανών εναλλακτικών, τη μοντελοποίηση των προτιμήσεων του αποφασίζοντα με τη συνάρτηση κριτήριο. Το σύνολο όλων αυτών των εργασιών αποτελεί τον τομέα της κλασικής Επιχειρησιακής Έρευνας.

ε. Κριτική

Το θεμελιώδες μοντέλο παρουσιάζει πολλά πλεονεκτήματα, αλλά είναι περισσότερο μαθηματικής φύσης παρά λήψης αποφάσεων. Οι εφαρμογές του είναι πολλές, αλλά παραμένουν πολύ εξειδικευμένες.

Αυτός είναι ο λόγος για τον οποίο πολλές κριτικές έχουν διατυπωθεί και συγκεκριμένα οι ακόλουθες που είναι οι πιο σημαντικές.

1. Οι παράμετροι που καθορίζουν το σύνολο των πιθανών εναλλακτικών και τη συνάρτηση κριτήριο δεν είναι πάντα γνωστοί με βεβαιότητα.
2. Το θεμελιώδες μοντέλο είναι κατάλληλο για τα προβλήματα επιλογής. Ωστόσο υπάρχουν και άλλες προβληματικές.
3. Οι προτιμήσεις του αποφασίζοντα δεν μπορούν πάντα να μοντελοποιηθούν με τη συνάρτηση f(x) .
4. Πολλά προβλήματα αποφάσεων στηρίζονται στη θεώρηση πολλαπλών και μερικές φορές αντικρουόμενων απόψεων που είναι δύσκολο να εκφραστούν με ένα μόνο κριτήριο.
5. Οι σχέσεις αποφασίζοντα-αναλυτή που προκύπτουν από το θεμελιώδες μοντέλο είναι συχνά ανεπιτυχείς για τη διαδικασία λήψης αποφάσεων.

ΙΙΙ.  Οι διάφορες προβληματικές

Όταν έχει καθοριστεί ένα σύνολο A πιθανών εναλλακτικών, το πρόβλημα απόφασης που τίθεται, δεν είναι πάντοτε η επιλογή της καλύτερης εναλλακτικής στο Α. Ο Bernard Roy εξετάζει 4 τύπους προβληματικών που καλούνται Ρα, Ρβ, Ργ και Ρδ. Κάθε μια από αυτές δημιουργεί μια διαδικασία ανάλυσης ή ένα μαθηματικό υπολογισμό ειδικού τύπου.

Ρα: Προβληματική επιλογής: το πρόβλημα είναι να παρέχουμε στον αποφασίζοντα την ή τις καλύτερες εναλλακτικές του Α. Οι εναλλακτικές συγκρίνονται μεταξύ τους μέσω κριτηρίων και της διαδικασίας ανάλυσης που ονομάζεται διαδικασία επιλογής.

Ρβ: Προβληματική ταξινόμησης: το πρόβλημα είναι να θέσουμε  κάθε εναλλακτική του Α σε κατηγορίες που έχουν οριστεί προηγουμένως. Οι εναλλακτικές εκτιμώνται σε σχέση με δεδομένες νόρμες (όρια διάκρισης) και η διαδικασία ανάλυσης λέγεται διαδικασία ταξινόμησης.

Ργ: Προβληματική κατάταξης: το πρόβλημα είναι να κατατάξουμε τις εναλλακτικές σε τάξεις ισοδυναμίας από την καλύτερη στη λιγότερο καλή. Οι εναλλακτικές συγκρίνονται μεταξύ τους μέσω κριτηρίων και η διαδικασία ανάλυσης λέγεται διαδικασία κατάταξης.

Ρδ: Προβληματική Περιγραφής: το πρόβλημα είναι απλώς να περιγράψουμε σε κατάλληλη γλώσσα τις εναλλακτικές του Α και τις συνέπειές τους. Η διαδικασία είναι μια γνωστική διαδικασία.

Αυτή η λίστα των προβληματικών είναι εξαντλητική, κάθε πρόβλημα απόφασης οδηγεί απαραίτητα σε μια από αυτές.

ΙV. Μοντελοποίηση των προτιμήσεων

Το θεμελιώδες μοντέλο, αν και είναι πολύ πλούσιο σε μαθηματικές ιδιότητες, έχει σοβαρά μειονεκτήματα από την άποψη της εφαρμογής του. Τρία μεταξύ αυτών έχουν αναφερθεί στη βιβλιογραφία.

• Η μεταβατικότητα του Ι (δείκτης αδιαφορίας)
• Ο αποκλεισμός οποιασδήποτε κατάστασης προτιμήσεων εκτός από Ι και Ρ
• Ο αποκλεισμός οποιασδήποτε κατάστασης ασυγκρισιμότητας μεταξύ των εναλλακτικών.

Η απάντηση στην πρώτη κριτική έγκειται στην εισαγωγή ενός κατωφλιού αδιαφορίας q έτσι ώστε:

xPy ó f(x) > f(y) + q,                                                   

xIy óf(y) + q ≥ f(x) ≥ f(y) – q                                        (4.1)

Σχήμα 1: Αναπαράσταση ενός κατωφλιού αδιαφορίας

Το σχεσιακό σύστημα προτιμήσεων (Ι, Ρ) που προκύπτει από αυτή την αναπαράσταση λέγεται σχεδόν -κατάταξη και έχει μελετηθεί εκτενώς στη βιβλιογραφία.

Σχετικά με τη δεύτερη κριτική, τα δύο μοντέλα προτίμησης (ολικής και μερικής κατάταξης) αποκλείουν οποιαδήποτε κατάσταση εκτός από τα Ι και Ρ. Ωστόσο, όταν αντιμετωπίζουμε τη σύγκριση δύο εναλλακτικών x και y, ένα άτομο έχει συχνά πολλούς λόγους για να αποφύγει να αποφασίσει μεταξύ αυστηρής προτίμησης και αδιαφορίας. Οι πληροφορίες που απαιτούνται για αυτή τη σύγκριση μπορεί να είναι ελλιπείς, υποκειμενικές, μη διαθέσιμες ή αντικρουόμενες. Μπορούν επίσης να απαιτήσουν εργασία που το άτομο θεωρεί πολύ ακριβή, πρόωρη ή χωρίς ενδιαφέρον. Αυτός είναι ο λόγος για τον οποίο ο Bernard Roy πρότεινε να εισάγει στο μοντέλο προτιμήσεων μια κατάσταση δισταγμού μεταξύ αυστηρής προτίμησης και αδιαφορίας την οποία ονόμασε ασθενή προτίμηση (συμβολίζεται Q).

Η φυσική γενίκευση της δομής της σχεδόν-κατάταξης, που ονομάζεται ψευδό-κατάταξη, είναι αυτή που προκύπτει από την ακόλουθη παράσταση.

xPy ó f(x) > f(y) + p(y)

xQy ó f(y) + p ≥ f(x) > f(y) + q                                       (4.2)

xIy ó f(y) + q ≥ f(x) ≥ f(y) – q

Σχήμα 2: Αναπαράσταση κατωφλιών αδιαφορίας και ασθενούς προτίμησης

Όπου Ρ είναι ένα κατώφλι μεταβλητής ή σταθερής προτίμησης.

Η τρίτη κριτική σχετίζεται με το γεγονός ότι κάθε εναλλακτική x μπορεί να συγκριθεί με οποιαδήποτε εναλλακτική y. Ομοίως μερικές φορές συμβαίνει ότι οι παράγοντες δεν δύνανται, δεν γνωρίζουν ή δεν θέλουν να συγκρίνουν δύο εναλλακτικές x και y, την ιδανική στιγμή μέσα στη διαδικασία της απόφασης. Για να ληφθεί υπόψη αυτή η κατάσταση πρέπει να αναπτυχθούν μοντέλα προτιμήσεων με την ένδειξη R της ασυγκρισιμότητας.

Η μοντελοποίηση των προτιμήσεων είναι ένα απαραίτητο βήμα στη διεξαγωγή μιας διαδικασίας λήψης αποφάσεων, αλλά η καταχρηστική χρήση του θεμελιώδους μοντέλου την άφησε μακριά από τις ανησυχίες των επιχειρησιακών ερευνών και μαθηματικών. Αυτή η κατάσταση τείνει να βελτιωθεί σήμερα, η αναζήτηση ρεαλιστικών μοντέλων προτιμήσεων και σχετικών διαδικασιών έρευνας βρίσκεται σε πλήρη ανάπτυξη.

V. Πολυκριτήρια προβλήματα

α. Εκφώνηση

Σε ένα μεγάλο αριθμό προβλημάτων απόφασης οι εναλλακτικές δεν αξιολογούνται από ένα κριτήριο, αλλά από πολλά που ο αποφασίζων επιθυμεί να βελτιστοποιήσει ταυτόχρονα. Εάν f₁(x), f­₂(x), …, f_p(x), είναι τα κριτήρια, το πρόβλημα έχει τη μορφή:

  opt{f₁(x), f­₂(x), …, f_p(x) I x  }  (5.1)

β. Μονοκριτήρια προβλήματα.

Ιδεώδες σημείο

Σε κάθε πρόβλημα του τύπου (5.1) είναι δυνατόν να σχετίσουμε τα Ρ ακόλουθα μονοκριτήρια:

  opt{f_h(x) I x  }, h = 1, 2, …, Ρ    (5.2)

Καθένα από αυτά τα προβλήματα είναι ένα θεμελιώδες μοντέλο. Έστω  οι αντίστοιχες βέλτιστες λύσεις τους.

Σε κάθε εναλλακτική x , είναι δυνατόν να σχετίσουμε ένα σημείο Ρ(x) των συντεταγμένων ( f₁(x), f­₂(x), …, f_p(x) ) σε ένα διάστημα Ρ διαστάσεων ονομαζόμενο διάστημα των κριτηρίων. Όταν το x διασχίζει το Α, το σημείο F(x) διασχίζει το σύνολο .

Σχήμα 3:  Διάστημα Α των εναλλακτικών και διάστημα εικόνας

Το σημείο Μ* (f₁(), f­₂(), …, f_p() ) ονομάζεται ιδεώδες σημείο.

γ. Ένα πολυκριτήριο πρόβλημα είναι κακοδομημένο πρόβλημα

Εάν είναι θεμιτό για τον αποφασίζοντα να θέλει ταυτόχρονα να βελτιστοποιεί Ρ κριτήρια, είναι ωστόσο ένα τέτοιο πρόβλημα κακοδομημένο. Φαίνεται στη γενική περίπτωση ότι το να θέλεις ταυτόχρονα να βελτιστοποιήσεις κάθε ένα από τα κριτήρια δεν έχει νόημα. Δεν υπάρχουν εναλλακτικές του Α που βελτιστοποιούν ταυτόχρονα τα Ρ κριτήρια. Αυτός είναι ο λόγος που το πρόβλημα είναι κακοδομημένο. Η λύση που προτιμά ο αποφασίζων θα είναι γενικά μια συμβιβαστική λύση και το τελικό αποτέλεσμα της διαδικασίας λήψης αποφάσεων θα είναι να καθοριστεί η καλύτερη συμβιβαστική λύση. Αυτό σηματοδοτεί μια ουσιαστική διαφορά μεταξύ του θεμελιώδους μοντέλου και ενός προβλήματος πολλαπλών κριτηρίων όχι μόνο όσον αφορά τη μοντελοποίηση των προτιμήσεων αλλά επίσης και για τη διαδικασία διερεύνησης.

δ. Αποτελεσματική λύση

Θεωρούμε πολυκριτήριο πρόβλημα του οποίου όλα τα κριτήρια πρέπει να μεγιστοποιηθούν. Έστω x και y δύο εναλλακτικές οι οποίες ανήκουν στο Α. Η εναλλακτική x κυριαρχεί της y εάν:

 f_h(x) ≥ f_h(y), h = 1, 2, …, P      (5.3)

η  μια τουλάχιστον από τις ανισότητες είναι αυστηρή.

Μια αποτελεσματική λύση καλείται κάθε εναλλακτική x  που δεν κυριαρχείται  από οποιαδήποτε άλλη εναλλακτική του Α. Γενικά, μόνο οι αποτελεσματικές εναλλακτικές παρουσιάζουν ενδιαφέρον για τον αποφασίζοντα. Ένας μεγάλος όγκος ερευνητικών εργασιών έχουν αναληφθεί για την ολοκλήρωση και το χαρακτηρισμό των συνόλων αποτελεσματικών λύσεων. Δυστυχώς, στις περισσότερες περιπτώσεις, ο αποφασίζων δεν μπορεί να θεωρήσει τον εαυτό του επαρκώς ενημερωμένο από τη γνώση αυτών των συνόλων.

ε. Αντιμετώπιση πολυκριτήρων προβλημάτων

Οι μαθηματικοί έχουν προτείνει τρεις διαφορετικούς τύπους προσεγγίσεων για την αντιμετώπιση πολυκριτήριων προβλημάτων.

1. Σύνθεση κριτηρίων σε ένα μοναδικό κριτήριο (unique synthesis criterion).
2. Αλληλεπιδραστικές προσεγγίσεις (interactive local judgment approach).
3. Κατασκευή των σχέσεων υπεροχής (outranking synthesis approach).

VI. Σύνθεση Κριτηρίων. Συναρτήσεις χρησιμότητας

α. Εκφώνηση

Θεωρούμε ένα πολυκριτήριο πρόβλημα του τύπου (5.1). Εάν υποθέσουμε ότι οι προτιμήσεις του αποφασίζοντα μπορούν να μοντελοποιηθούν με μια μοναδική συνάρτηση:

V(x) = U [ f₁(x), f­₂(x), …, f_p(x)],          (6.1)

που πρέπει να μεγιστοποιηθεί, το πολυκριτήριο πρόβλημα μπορεί να επανέλθει στο ακόλουθο θεμελιώδες μοντέλο.

Max{U(x) I x   (6.2)

Η συνάρτηση U(x) που συνθέτει τα Ρ κριτήρια σε ένα μοναδικό κριτήριο ονομάζεται συνάρτηση αξίας ή πολυκριτήρια συνάρτηση χρησιμότητας. Η ύπαρξη αυτής της συνάρτησης χρησιμότητας επιτρέπει την αντικατάσταση ενός μαθηματικού προβλήματος καλώς ορισμένου σε ένα πρόβλημα αρχικά κακώς ορισμένου. Έχουν διεξαχθεί σημαντικές έρευνες σε αυτόν τον τομέα και ειδικότερα:

1. Για να γνωρίζουμε ποιες ιδιότητες πρέπει να κατέχουν οι προτιμήσεις του αποφασίζοντα ώστε να υπονοούν την ύπαρξη τέτοιων συναρτήσεων χρησιμότητας,
2. Για την κατασκευή συναρτήσεων χρησιμότητας όταν αυτές υπάρχουν,

Παρατηρούμε ότι η ύπαρξη μιας συνάρτησης χρησιμότητας συνεπάγεται στο πνεύμα του αποφασίζοντα η ύπαρξη μιας ολικής κατάταξης στο σύνολο των εναλλακτικών του Α. Αυτό σημαίνει ότι όλες οι εναλλακτικές του Α μπορούν να καταταγούν από την καλύτερη έως τη λιγότερο καλή, και τις ισοδύναμες επίσης. Στην περίπτωση που ο αποφασίζων θεωρήσει ότι ορισμένες εναλλακτικές του Α είναι ασύγκριτες, δεν είναι δυνατή η κατασκευή των συναρτήσεων χρησιμότητας.

β. Κατασκευή συναρτήσεων χρησιμότητας

Η κατασκευή των συναρτήσεων χρησιμότητας ανήκει στον αναλυτή της μελέτης.

1. Μέθοδοι με οικονομική έννοια

1.  (x) = λ₁f₁(x) + λ₂f₂(x) + … + λ_pf_p(x)      (6.3)

Όπου λ₁, λ₂, … , λ_Ρ, οι παράμετροι που αντιπροσωπεύουν την οικονομική σημαντικότητα που ο αποφασίζων απονέμει σε καθένα από τα κριτήρια.

1. Μέθοδοι με μαθηματική έννοια

Το πολυκριτήριο πρόβλημα έχοντας προσδιοριστεί και το σύνολο Α ορισμένο μέσα στο χώρο των κριτηρίων, είναι δυνατό να αποδεχθούμε ότι μια καλή λύση του Α είναι αυτή της οποίας η εικόνα μέσα στο Α είναι η πλησιέστερη δυνατή στο ιδεώδες σημείο Μ*. Εάν d(F, M*) εκφράζει την απόσταση μεταξύ ενός σημείου F και του σημείου Μ*, το πρόβλημα είναι πρώτα να βρούμε το σημείο F έτσι ώστε:

d(F, M*) = Min {d(F, M*) I F   }      (6.4)

και μετά για να προσδιοριστεί η εναλλακτική του Α που έχει F για εικόνα στο . Το πρόβλημα (6.4) είναι ένα θεμελιώδες μοντέλο και η συνάρτηση – απόσταση φέρεται ως συνάρτηση χρησιμότητας. Εάν επιλέξουμε μια ευκλείδειο απόσταση, το πρόβλημα (6.4) είναι ένα τετραγωνικό πρόγραμμα.

1. Μέθοδοι που χρησιμοποιούν ποσοστά υποκατάστασης

Εάν υπάρχει μια συνάρτηση χρησιμότητας U(x), πρέπει επίσης να υπάρχουν μεγέθη w_hk που μετρούν την ποσότητα που ο αποφασίζων είναι έτοιμος να παραχωρήσει για το κριτήριο k^e για να κερδίσει μια μονάδα στο κριτήριο h^e. Οι ποσότητες w_hk ονομάζονται ποσοστά παραχώρησης μεταξύ των κριτηρίων h^e και k^e. Αυτό ισοδυναμεί με το ότι ο αποφασίζων θεωρεί ως ισοδύναμα τα δύο σύνολα των ακόλουθων αξιών:

• f₁, f₂, …, f_h, …, f_k, …, f_p)  (f₁, f₂, …, f_h+1, …, f_k–whk, …, f_p)   (6.5)

Τα ποσοστά παραχώρησης χρησιμοποιούνται ως βάση διαλόγου μεταξύ αποφασίζοντα και αναλυτή μελέτης.

γ. Πλεονεκτήματα και μειονεκτήματα συναρτήσεων χρησιμότητας

Πρέπει να είμαστε προσεκτικοί με τη χρήση των συναρτήσεων χρησιμότητας επειδή παρουσιάζουν συχνά πραγματικά μειονεκτήματα.

Μερικά από αυτά.

1. Μερικές φορές, ο μη ρεαλιστικός χαρακτήρας των υποθέσεων που υπονοούν.
2. Ο αποκλεισμός κάθε κατάστασης ασυγκρισιμότητας.
3. Η δυσκολία κατασκευής και ειδικά η δυσκολία εκτίμησης των ποσοστών παραχώρησης όταν τα κριτήρια εκφράζονται σε διαφορετικές μονάδες.
4. Η έλλειψη συνοχής μεταξύ των παραμέτρων που τις ορίζουν και των προτιμήσεων του αποφασίζοντα. Στην περίπτωση που η συνάρτηση χρησιμότητας είναι του τύπου (6.3), μπορούμε να δείξουμε σε παραδείγματα που δεν έχουν κανένα χαρακτήρα εξαίρεσης, ότι μια μικρή μεταβολή των παραμέτρων λ (μπορεί εύκολα να συμφωνηθεί από τον αποφασίζοντα), μπορεί να τροποποιήσει σημαντικά τη βέλτιστη λύση και αντίθετα, σε άλλες περιπτώσεις, μια σημαντική μεταβολή των παραμέτρων δεν συνεπάγεται καμιά τροποποίηση αυτής της λύσης. Αντίθετα, η σύνθεση των κριτηρίων σε μια συνάρτηση χρησιμότητας είναι απολύτως ικανοποιητική για το μαθηματικό. Επιτρέπει την αντικατάσταση ενός πολυκριτήριου προβλήματος με ένα καλά καθορισμένο θεμελιώδες μοντέλο και επομένως παρουσιάζει πραγματικό ενδιαφέρον για ορισμένες εφαρμογές.

VII. Αλληλεπιδραστικές μέθοδοι

Οι αλληλεπιδραστικές μέθοδοι είναι διαδικασίες για τον προσδιορισμό συμβιβαστικών λύσεων με ένα ιδιαίτερα κομψό τρόπο. Αποτελούνται από μια διαδοχή βημάτων υπολογισμού και βημάτων διαλόγου στα οποία παρεμβαίνει ο αναλυτής μελέτης και ο λήπτης αποφάσεων. Κατά τη διάρκεια των σταδίων υπολογισμού, ο αναλυτής προσπαθεί να μοντελοποιήσει τις πληροφορίες που διαθέτει για τις προτιμήσεις του αποφασίζοντα και καθορίζει, μέσω μιας διαδικασίας επιλογής, μια εναλλακτική ικανή να αποτελέσει αντικείμενο ενός καλύτερου συμβιβασμού. Κατά τη διάρκεια του διαλόγου, οι εναλλακτικές που επιλέγονται με αυτό τον τρόπο, υποβάλλονται στον αποφασίζοντα που αναλύει τις συνέπειες, ιδίως μέσω των τιμών που λαμβάνονται από τα διάφορα κριτήρια. Εάν είναι ικανοποιημένος, η προτεινόμενη εναλλακτική επιλέγεται ως η καλύτερη συμβιβαστική λύση. Ειδεμή, έχει τη δυνατότητα παροχής πρόσθετων πληροφοριών για τις προτιμήσεις του. Έτσι, για παράδειγμα, μπορεί να υποδείξει παραχωρήσεις που είναι διατεθειμένος να κάνει με συγκεκριμένα κριτήρια για να κερδίσει σε άλλα.

Αυτές οι πληροφορίες παρέχονται στη συνέχεια στον αναλυτή που αναλαμβάνει ένα νέο βήμα υπολογισμού. Συνεπώς, η διαδικασία συνεχίζεται διαδοχικά, είτε έως ότου επιτευχθεί μια καλύτερη συμβιβαστική λύση, είτε έως ότου ο αποφασίζων θεωρήσει ότι δεν μπορεί να δεχτεί την τελευταία προτεινόμενη λύση ούτε να κάνει παραχωρήσεις σχετικά με τις αξίες των κριτηρίων, οπότε στην περίπτωση αυτή καμιά συμβιβαστική λύση δεν μπορεί να βρεθεί.

Οι αλληλεπιδραστικές μέθοδοι έχουν αποδειχθεί εξαιρετικά επιτυχημένες όσον αφορά τις αρχές και τις εφαρμογές. Έχουν οδηγήσει σε σημαντική πρόοδο τη διαδικασία λήψης αποφάσεων. Προσφέρουν το μεγάλο πλεονέκτημα ότι επιτρέπουν στον αποφασίζοντα να μοντελοποιήσει τις προτιμήσεις του βήμα προς βήμα και όχι μια φορά πριν τη διαδικασία διερεύνησης, όπως συμβαίνει στις περισσότερες μεθόδους.

Η διεξαγωγή της διαδικασίας λήψης αποφάσεων δεν προκύπτει από τα στάδια υπολογισμού, αλλά από τα στάδια διαλόγου, τα οποία τελικά οδηγούν τους υπολογισμούς προς την καλύτερη συμβιβαστική λύση. Χάρη στις αλληλεπιδραστικές μεθόδους, η διαδικασία λήψης αποφάσεων μεταμορφώνεται σε μια διαδικασία διαπραγμάτευσης κατά την οποία οι ποσοτικές πληροφορίες θα παρεμβαίνουν σε κάθε στάδιο.

VIII. Μέθοδοι υπεροχής

Ο συγγραφέας ως ένας από τους ιδρυτές της οικογένειας των μεθόδων PROMETHEE, στην παράγραφο αυτή παρουσιάζει κυρίως τις μεθόδους ELECTRE. Αναφέρεται αναλυτικά στην ELECTRE I, η πρώτη πολυκριτήρια μέθοδος της οικογένειας ELECTRE και στο τέλος παρουσιάζει περιληπτικά τις άλλες δύο ELECTRE II και III.

Στη συνέχεια του κεφαλαίου αυτού θα αλλάξουμε ελαφρώς την παρουσίαση των μεθόδων υπεροχής και θα αναλύσουμε σε βάθος μια σχετικά πρόσφατη μέθοδο της οικογένειας ELECTRE, την ELECTRE TRI, η οποία ασχολείται με προβλήματα ταξινόμησης και ανήκει στην προβληματική Ρβ.  Η θεωρητική ανάπτυξη των δύο παραγράφων που ακολουθούν, δανείζεται σε μεγάλο βαθμό την ανάλυση από το βιβλίο μας με τίτλο Πολυκριτήριες Τεχνικές Ταξινόμησης, Μιχάλης Δούμπος, Κωνσταντίνος Ζοπουνίδης, Εκδόσεις Κλειδάριθμος, 2001.  

1. Θεωρία των σχέσεων υπεροχής

Η θεωρία των σχέσεων υπεροχής αποτελεί ένα ιδιαίτερο μεθοδολογικό ρεύμα της πολυκριτήριας ανάλυσης οι βάσεις του οποίου τέθηκαν στα τέλη της δεκαετίας του 1960 με τις εργασίες του Bernard Roy και την παρουσίαση των μεθόδων της οικογένειας ELECTRE [ELimination Et Choix Traduisant la Realité, βλ. Roy (1968)]. Έκτοτε, η θεωρία των σχέσεων υπεροχής γνώρισε ιδιαίτερη διάδοση μεταξύ των ερευνητών του χώρου της πολυκριτήριας ανάλυσης, ιδιαίτερα στην Ευρώπη.

Όλες οι τεχνικές οι οποίες βασίζονται στη θεωρία των σχέσεων υπεροχής λειτουργούν σε δύο στάδια. Στο πρώτο στάδιο πραγματοποιείται η ανάπτυξη μιας σχέσης υπεροχής (outranking relation) μεταξύ των εξεταζόμενων εναλλακτικών δραστηριοτήτων, ενώ στο δεύτερο στάδιο πραγματοποιείται η εκμετάλλευση της σχέσης υπεροχής ώστε να εξαχθεί το αποτέλεσμα της αξιολόγησης των εναλλακτικών δραστηριοτήτων υπό την επιθυμητή μορφή (κατάταξη, ταξινόμηση, επιλογή).

Κοινό στοιχείο των δύο αυτών σταδίων και βασική έννοια του συγκεκριμένου μεθοδολογικού ρεύματος της πολυκριτήριας ανάλυσης, αποτελεί η έννοια της σχέσης υπεροχής. Η σχέση υπεροχής είναι μια διμερής σχέση η οποία επιτρέπει την εκτίμηση της ισχύος της υπεροχής μιας εναλλακτικής δραστηριότητας x έναντι μιας άλλης εναλλακτικής δραστηριότητας . Η ισχύς αυτή αυξάνει όσο περισσότερες είναι οι ενδείξεις υπέρ της υπεροχής της εναλλακτικής δραστηριότητας x (συμφωνία των κριτηρίων) χωρίς παράλληλα να υπάρχουν ισχυρές ενδείξεις που να αναιρούν την ισχύ της υπεροχής (ασυμφωνία των κριτηρίων).

Ουσιαστικά, η ανάπτυξη μιας σχέσης υπεροχής της παραπάνω μορφής αποτελεί μια εναλλακτική μορφή μοντελοποίησης και μαθηματικής αναπαράστασης του συστήματος αξιών του αποφασίζοντα, η οποία διαφέρει σημαντικά από το πλαίσιο μοντελοποίησης που ακολουθείται από την πολυκριτήρια θεωρία χρησιμότητας σε δύο καίρια σημεία:

1. Η σχέση υπεροχής δεν είναι μεταβατική

Στην πολυκριτήρια θεωρία χρησιμότητας τα αποτελέσματα της αξιολόγησης των εναλλακτικών δραστηριοτήτων μέσω της συνάρτησης χρησιμότητας που αναπτύσσεται, υπακούουν στη μεταβατική ιδιότητα. Έτσι για οποιεσδήποτε τρεις εναλλακτικές δραστηριότητες x, ,  ισχύουν:

Αντίθετα, η ανάπτυξη και χρήση των σχέσεων υπεροχής επιτρέπει τη μοντελοποίηση και αντιμετώπιση περιπτώσεων όπου ενώ η εναλλακτική δραστηριότητα x προτιμάται/είναι αδιάφορη της  η οποία με τη σειρά της προτιμάται/είναι αδιάφορη της , τελικά η x δεν προτιμάται ή δεν είναι αδιάφορη της . Χαρακτηριστικό είναι το παράδειγμα του «ενός ποτηριού καφέ» του Luce (1956) (βλ.  Roy και Vincke, 1981): προφανώς κανένας δεν μπορεί να καταλάβει τη διαφορά μεταξύ ενός ποτηριού καφέ με a γραμμάρια ζάχαρης και ενός ποτηριού καφέ με a+0,01 γραμμάρια ζάχαρης· άρα υπάρχει αδιαφορία μεταξύ των δύο περιπτώσεων. Κατά το ίδιο σκεπτικό υπάρχει αδιαφορία μεταξύ α+0,01 και α+0,02 γραμμαρίων ζάχαρης. Εάν η σχέση αδιαφορίας είναι μεταβατική τότε συμπεραίνεται ότι υπάρχει αδιαφορία μεταξύ α και α+0,02 γραμμαρίων ζάχαρης, και συνεπώς μέσω μιας σειράς ανάλογων συλλογισμών μπορεί να εξαχθεί το συμπέρασμα ότι ισχύει η σχέση αδιαφορίας μεταξύ ενός ποτηριού καφέ με α γραμμάρια ζάχαρης και ενός ποτηριού καφέ το οποίο είναι γεμάτο ζάχαρη, ανεξαρτήτως του α, το οποίο προφανώς δεν είναι αληθές.

1. Η σχέση υπεροχής δεν είναι πλήρης

Η πολυκριτήρια θεωρία χρησιμότητας θεωρεί μόνο τις σχέσεις υπεροχής και αδιαφορίας μεταξύ των εξεταζόμενων εναλλακτικών δραστηριοτήτων. Αντίθετα, στα πλαίσια της θεωρίας των σχέσεων υπεροχής χρησιμοποιείται και μια επιπλέον σχέση, αυτή της ασυγκρισιμότητας. Η τρίτη αυτή σχέση επιτρέπει τη μοντελοποίηση και αντιμετώπιση περιπτώσεων κατά τις οποίες ορισμένες εναλλακτικές δραστηριότητες παρουσιάζουν τέτοιες διαφορές στα κριτήρια αξιολόγησης ώστε καθίσταται ιδιαίτερα δύσκολη η μεταξύ τους σύγκριση.

Όπως και στην περίπτωση της πολυκριτήριας θεωρίας χρησιμότητας, η ανάπτυξη της σχέσης υπεροχής βασίζεται στις πληροφορίες που παρέχει ο ίδιος ο αποφασίζων. Οι πληροφορίες αυτές διαφέρουν ανάλογα με τη συγκεκριμένη μέθοδο που χρησιμοποιείται, αλλά στην πλειοψηφία των περιπτώσεων αφορούν:

1. Τα βάρη (σημαντικότητα) των κριτηρίων αξιολόγησης.
2. Τα κατώφλια προτίμησης, αδιαφορίας και βέτο (preference, indifference, veto thresholds). Η χρήση των κατωφλιών προτίμησης και αδιαφορίας συμβάλλει στην ανάπτυξη μιας ασαφούς σχέσης υπεροχής (fuzzy outranking relation), η οποία αποδίδεται γραφικά στο Σχήμα 4. Αντίστοιχα, η χρήση του κατωφλίου βέτο επιτρέπει την μοντελοποίηση περιπτώσεων όπου η πολύ κακή επίδοση μιας εναλλακτικής δραστηριότητας x σε ένα κριτήριο εκτίμησης έναντι της αντίστοιχης επίδοσης μιας άλλης εναλλακτικής  θέτει «βέτο» στην πρόταση «η εναλλακτική δραστηριότητα x είναι τουλάχιστον εξίσου καλή όσο και η », ανεξαρτήτως των επιδόσεων των δύο εναλλακτικών στα υπόλοιπα κριτήρια.

Η συνδυασμένη χρήση των πληροφοριών αυτών παρέχει τη δυνατότητα στον αναλυτή να εξετάσει την ύπαρξη επαρκούς συμφωνίας των κριτηρίων ώστε να θεωρηθεί ότι ισχύει η πρόταση «η εναλλακτική δραστηριότητα x είναι τουλάχιστον εξίσου καλή όσο και η » εξετάζοντας παράλληλα και την ισχύ των ενδείξεων που πιθανόν να υπάρχουν κατά της ισχύος της πρότασης αυτής (ασυμφωνία).

Σχήμα 4: Αναπαράσταση της ασαφούς σχέσης υπεροχής με τη χρήση των κατωφλιών προτίμησης και αδιαφορίας.

Με την ολοκλήρωση της διαδικασίας ανάπτυξης της σχέσης υπεροχής βάσει των πληροφοριών που παρέχει ο αποφασίζων, ακολουθεί η εκμετάλλευσή της ώστε να καθοριστεί το αποτέλεσμα της αξιολόγησης των εναλλακτικών δραστηριοτήτων. Ως αποτέλεσμα των δύο βασικών ιδιοτήτων που διέπουν τη σχέση υπεροχής (μη μεταβατική και μη πλήρης), η διαδικασία εκμετάλλευσης της σχέσης υπεροχής δύναται να οδηγήσει ακόμα και στον εντοπισμό εναλλακτικών δραστηριοτήτων οι οποίες δεν είναι μεταξύ τους συγκρίσιμες.

Στις πλέον γνωστές μεθόδους που βασίζονται στη θεωρία των σχέσεων υπεροχής συγκαταλέγονται οι μέθοδοι της οικογένειας ELECTRE (Roy, 1991), καθώς και οι μέθοδοι της οικογένειας PROMETHEE (Brans και Vincke, 1985). Οι δύο αυτές βασικές οικογένειες μεθόδων συναντώνται σε διάφορες παραλλαγές, οι οποίες μπορούν να χρησιμοποιηθούν για την αντιμετώπιση κάθε μορφής προβλήματος που αφορά την αξιολόγηση ενός πεπερασμένου συνόλου εναλλακτικών δραστηριοτήτων. Μεταξύ των παραλλαγών αυτών συγκαταλέγονται και μέθοδοι οι οποίες αντιμετωπίζουν προβλήματα ταξινόμησης. Σε τέτοια προβλήματα βέβαια, δεν έχει νόημα η ανάπτυξη μιας σχέσης υπεροχής που θα συγκρίνει ανά δύο τις εναλλακτικές ενέργειες μεταξύ τους. Όπως ήδη προαναφέρθηκε στο εισαγωγικό κεφάλαιο, η πραγματοποίηση τέτοιων σχετικών συγκρίσεων δεν απαντά στο βασικό ερώτημα των προβλημάτων ταξινόμησης, δηλαδή σε ποια από τις προκαθορισμένες κατηγορίες πρέπει να ενταχθούν οι εξεταζόμενες εναλλακτικές δραστηριότητες. Αυτό μπορεί να επιτευχθεί μόνο μέσω της πραγματοποίησης απόλυτων συγκρίσεων μεταξύ των εναλλακτικών δραστηριοτήτων και ορισμένων προτύπων που καθορίζουν τον τρόπο με τον οποίο διαχωρίζονται οι κατηγορίες. Στα πλαίσια της θεωρίας των σχέσεων υπεροχής τα πρότυπα αυτά ορίζονται ως «εικονικές» εναλλακτικές δραστηριότητες οι οποίες αναπαριστούν είτε το κάτω όριο της κάθε κατηγορίας είτε χαρακτηριστικά παραδείγματα εναλλακτικών δραστηριοτήτων της κάθε κατηγορίας. Με τον καθορισμό αυτών των απαραίτητων προτύπων, σκοπός είναι η ανάπτυξη μιας σχέσης υπεροχής για τη σύγκριση των εναλλακτικών δραστηριοτήτων με τα πρότυπα και η εκμετάλλευσή της με τον κατάλληλο τρόπο ώστε να πραγματοποιηθεί η ταξινόμηση των εναλλακτικών.

2 Η μέθοδος ΕLECTRE TRI

Όπως παρουσιάστηκε κατά την ανάλυση των βασικών μεθοδολογικών ρευμάτων της πολυκριτήριας ανάλυσης αποφάσεων, η θεωρία των σχέσεων υπεροχής έχει γνωρίσει ιδιαίτερη διάδοση μεταξύ των ερευνητών του χώρου, ιδιαίτερα στην Ευρώπη. Η πλέον γνωστή οικογένεια μεθόδων που βασίζονται στη θεωρία των σχέσεων υπεροχής είναι αυτή των μεθόδων ELECTRE. Από την πρώτη παρουσίαση των μεθόδων ELECTRE από τον Roy (1968), οι μέθοδοι αυτές, ακολουθώντας τις βασικές αρχές της θεωρίας των σχέσεων υπεροχής όπως αυτές αναπτύχθηκαν στην παράγραφο 2.3, έχουν βρει ευρεία εφαρμογή στη αντιμετώπιση προβλημάτων επιλογής και κατάταξης.

Η μέθοδος ELECTRE TRI (Yu, 1992) αποτελεί την προσαρμογή των αρχών της οικογένειας των μεθόδων ELECTRE για την αντιμετώπιση προβλημάτων ταξινόμησης. Σκοπός της μεθόδου είναι η ταξινόμηση ενός συνόλου εναλλακτικών δραστηριοτήτων Α={x₁, x₂, …, x_m} σε q προκαθορισμένες κατηγορίες C₁, C₂, …, C_q. Κάθε εναλλακτική δραστηριότητα x_j αναπαριστάται μέσω του διανύσματος g_j=(g_j1, g_j2, …, g_jn) το οποίο περιλαμβάνει τις επιδόσεις της δραστηριότητας x_j στο σύνολο των κριτηρίων αξιολόγησης g. Οι κατηγορίες ορίζονται κατά διατεταγμένο τρόπο, θεωρώντας ότι η κατηγορία C₁ περιλαμβάνει τις περισσότερο προτιμητέες εναλλακτικές δραστηριότητες (καλύτερη κατηγορία), ενώ η κατηγορία C_q περιλαμβάνει τις λιγότερο προτιμητέες εναλλακτικές δραστηριότητες (χειρότερη κατηγορία)[1]. Η μέθοδος θεωρεί ότι κάθε κατηγορία διαχωρίζεται από τις υπόλοιπες μέσω μιας φανταστικής εναλλακτικής δραστηριότητας, η οποία αποτελεί το διαχωριστικό όριο μεταξύ των κατηγοριών. Κάθε τέτοια δραστηριότητα/όριο αποτελεί ένα πρότυπο αναφοράς r_k (reference profile), το οποίο διαχωρίζει τις κατηγορίες C_k και C_k+1 (Σχήμα 5). Ουσιαστικά το πρότυπο r_k είναι το κάτω όριο της κατηγορίας C_k και το πρότυπο r_k-1 είναι το άνω όριο της κατηγορίας. Κάθε πρότυπο r_k μπορεί να θεωρηθεί ως ένα διάνυσμα αποτελούμενο από τις τιμές των κριτηρίων αξιολόγησης που διαχωρίζουν τις κατηγορίες C_k και C_k+1: r_k=(r_1k, r_2k, …, r_nk). Οι διαχωριστικές τιμές r_1k, r_2k, …, r_nk των κριτηρίων θεωρούνται ως τα επιμέρους πρότυπα που διαχωρίζουν τις κατηγορίες βάσει των κριτηρίων g₁, g₂, …, g_n. Η υπόθεση ότι οι κατηγορίες είναι διατεταγμένες επιβάλει ο καθορισμός των προτύπων να γίνει έτσι ώστε r_ik>r_i,k+1 για κάθε k=1, 2, …, q–1 και i=1, 2, …, n.